Question

5．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{x}$-alnx．
（1）若f′（2+$\sqrt{3}$）=0，求函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)；
（2）若當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（2+$\sqrt{3}$）=0，求出a的值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值點(diǎn)即可；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x）在[1，+∞）遞增即可，即只需f′（x）≥0在[1，+∞）恒成立即可，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出即可．

解答 解：（1）f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{x}$，
由f′（2+$\sqrt{3}$）=0，得：1+$\frac{1}{{（2+\sqrt{3}）}^{2}}$-$\frac{a}{2+\sqrt{3}}$=0，解得：a=4，
∴f（x）=x-$\frac{1}{x}$-4lnx，f′（x）=$\frac{{x}^{2}-4x+1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2+$\sqrt{3}$或x＜2-$\sqrt{3}$，
令f′（x）＜0，解得：2-$\sqrt{3}$＜x＜2+$\sqrt{3}$，
∴f（x）在（0，2-$\sqrt{3}$）遞增，在（2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$）遞減，在（2+$\sqrt{3}$，+∞）遞減，
∴x=2+$\sqrt{3}$是極大值點(diǎn)，x=2-$\sqrt{3}$是極小值點(diǎn)；
（2）x=1時(shí)，f（x）=0，
若當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）≥0恒成立，
只需f（x）在[1，+∞）遞增即可，
f′（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+1}{{x}^{2}}$≥0在[1，+∞）恒成立即可，
令g（x）=x²-ax+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤1}\\{g（1）=2-a≥0}\end{array}\right.$，解得：a≤2，
故a∈（-∞，2]時(shí)，f（x）≥0在[1，+∞）恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．