Question

4．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，焦距為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）拋物線y²=2px（p＞0）的焦點和橢圓的右焦點重合，過右焦點作斜率為1的直線交橢圓于A，B，交拋物線于C，D，求△OAB和△OCD面積之比（O為坐標原點）

Answer 1

分析 （1）由橢圓離心率、焦距及a，b，c間的相互關(guān)系列出方程組，由此能求出橢圓方程．
（2）過右焦點作斜率為1的直線為y=x-1，與橢圓聯(lián)立，得3x²-4x=0，分別求出|AB|和|CD|，由此能求出△OAB和△OCD面積之比．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，焦距為2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{2c=2}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）∵橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$的右焦點F（1，0），
∴過右焦點作斜率為1的直線為y=x-1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²-4x=0，
|AB|=$\sqrt{（1+1）（\frac{4}{3}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，|CD|=$\frac{2p}{si{n}^{2}α}$=$\frac{4}{\frac{1}{2}}$=8，
∴△OAB和△OCD面積之比$\frac{{S}_{△OAB}}{{S}_{△OCD}}$=$\frac{\frac{4\sqrt{2}}{3}}{8}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查兩個三角形面積之比的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓性質(zhì)、弦長公式、拋物線性質(zhì)的合理運用．