Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，且a_na_n+1+a_n+1-2a_n=0（n∈N）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)遞推式求出；
（2）使用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答 解：（1）由題意得${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+1}}$，又a₁=$\frac{1}{2}$，
∴a₂=$\frac{2{a}_{1}}{{a}_{1}+1}$=$\frac{2}{3}$，a₃=$\frac{2{a}_{2}}{{a}_{2}+1}$=$\frac{4}{5}$，a₄=$\frac{2{a}_{3}}{{a}_{3}+1}$=$\frac{8}{9}$．
（2）猜想${a_n}=\frac{{{2^{n-1}}}}{{{2^{n-1}}+1}}$
證明：①當(dāng)n=1時，a₁=$\frac{1}{2}$，故命題成立．
②假設(shè)n=k時命題成立，即${a_k}=\frac{{{2^{k-1}}}}{{{2^{k-1}}+1}}$，
a_k+1=$\frac{2{a}_{k}}{{a}_{k}+1}$=$\frac{{2×{2^{k-1}}}}{{{2^{k-1}}+1}}×\frac{{{2^{k-1}}+1}}{{2×{2^{k-1}}+1}}=\frac{2k}{{{2^k}+1}}$
故命題成立．
綜上，由①②知，對一切正整數(shù)n都有a_n=$\frac{{{2^{n-1}}}}{{{2^{n-1}}+1}}$成立．

點評 本題考查了數(shù)列項的計算，數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于基礎(chǔ)題．