Question

2．設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，且a₁=-1，$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n+1}}$=S_n．則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由已知推導出{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首項為-1，公差為-1的等差數(shù)列，從而求出S_n=-$\frac{1}{n}$，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 解：S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，且a₁=-1，$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n+1}}$=S_n，
∴S_n+1-S_n=S_n+1S_n，
∴$\frac{1}{{S}_{n+1}}-\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，$\frac{1}{{S}_{1}}$=-1，
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首項為-1，公差為-1的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1+（n-1）×（-1）=-n．
∴S_n=-$\frac{1}{n}$，
n=1時，a₁=S₁=-1，
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n-1}$=$\frac{1}{n（n-1）}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法的合理運用．