Question

10．已知a，b是不全為零的實數(shù)，函數(shù)f（x）=3ax²+2bx-（a+b）（a，b均為實數(shù)）
（Ⅰ）若a=1，且對一切b∈（1，2）恒有f（x）＞3x²+b²，求x的取值范圍；
（Ⅱ）求證：函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)一定有零點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）問題轉(zhuǎn)化為x＞$\frac{^{2}+b+1}{2b}$，b∈（1，2），令g（b）=$\frac{^{2}+b+1}{2b}$，求出g（b）的最大值，從而求出x的范圍即可；
（Ⅱ）可通過構(gòu)造函數(shù)f（x）=ax³+bx²-（a+b）x，由f（0）=f（1）=0，且f（x）是連續(xù)函數(shù)，得到在區(qū)間（0，1）內(nèi)，f（x）存在極值，從而解決問題．

解答 解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=3x²+2bx-（1+b），
對一切b∈（1，2）恒有f（x）＞3x²+b²，
即3x²+2bx-（1+b）＞3x²+b²，b∈（1，2），
∴x＞$\frac{^{2}+b+1}{2b}$，b∈（1，2），
令g（b）=$\frac{^{2}+b+1}{2b}$，則g′（b）=$\frac{^{2}-1}{{2b}^{2}}$＞0，
∴g（b）在（1，2）遞增，
∴g（b）＞g（2）=$\frac{7}{4}$，
故x的范圍是（$\frac{7}{4}$，+∞）；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)f（x）=ax³+bx²-（a+b）x，
∵f（0）=f（1）=0，且f（x）是連續(xù)函數(shù)，
∴在區(qū)間（0，1）內(nèi)，f（x）存在極值，
∴總存在x=k∈（0，1），使得f′（k）=0，
又f′（x）=3ax²+2bx-（a+b），
∴f′（k）=3ak²+2bk-（a+b）=0，
即x=k是方程3ax²+2bx-（a+b）=0的一個根
∴方程3ax²+2bx-（a+b）=0在（0，1）內(nèi)至少有一個根．

點評 本題考察了函數(shù)的零點問題，滲透了轉(zhuǎn)化思想，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．