Question

1．甲、乙兩個生物小組分別獨立開展對某生物離開恒溫箱的成活情況進行研究，每次試驗一個生物，甲組能使生物成活的概率為$\frac{1}{3}$，乙組能使生物成活的概率為$\frac{1}{2}$，假定試驗后生物成活，則稱該試驗成功，如果生物不成話．則稱該次試驗是失敗的．
（1）如果乙小組成功了4次才停止試驗，求乙小組第四次成功前共有三次失敗，且恰有兩次連續(xù)失敗的概率；
（2）若甲、乙兩小組各進行2次試驗，求甲小組實驗成功的次數(shù)多于乙小組的概率．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，乙小組在第四次成功前，共進行了6次試驗，其中三次失敗三次成功，且恰有兩次連續(xù)失敗，從而先確定共有多少種情況，進而由概率乘法公式進行計算即可得到答案．
（2）甲、乙兩小組各進行2次試驗，甲小組實驗成功的次數(shù)多于乙小組的情況有兩種：甲2次實驗中成功一次乙兩次實驗都沒成功，甲2次實驗全成功乙兩次實驗成功一次，由此能求出甲小組實驗成功的次數(shù)多于乙小組的概率．

解答 解：（1）據(jù)乙小組在第四次成功前共有三次失敗，可知乙小組共進行了6次試驗，
其中三次成功三次失敗，且恰有兩次連續(xù)失敗，
所以各種可能的情況數(shù)為${A}_{4}^{2}$=12種，
所以所求的概率為p₁=${A}_{4}^{2}×（\frac{1}{2}）^{3}×（\frac{1}{2}）^{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{3}{32}$．
（2）甲、乙兩小組各進行2次試驗，甲小組實驗成功的次數(shù)多于乙小組的情況有兩種：
甲2次實驗中成功一次乙兩次實驗都沒成功，甲2次實驗全成功乙兩次實驗成功一次，
∴甲小組實驗成功的次數(shù)多于乙小組的概率：
p=${C}_{2}^{1}（\frac{1}{3}）（1-\frac{1}{3}）{C}_{2}^{0}（\frac{1}{2}）^{2}$+${C}_{2}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}{C}_{2}^{1}（\frac{1}{2}）（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式的合理運用．