Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+（2b+1）x-a-2（a，b∈R）
（1）若a=0，當x∈[$\frac{1}{2}$，1]時恒有f（x）≥0，求b的取值范圍；
（2）若b=-1，試在直角坐標平面內(nèi)找出橫坐標不同的兩個點，使得函數(shù)y=f（x）的圖象永遠不經(jīng)過這兩點．

Answer 1

分析 （1）若a=0，f（x）=（2b+1）x-2，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得$\left\{\begin{array}{l}f（1）≥0\\ f（{\frac{1}{2}}）≥0\end{array}\right.$；
（2）b=-1時，整理得y=a（x²-1）-x-2，可變形為y+x+2=a（x²-1），無論對a為何值，都恒過$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-1=0\\ y+x+2=0\end{array}\right.$得出恒過點（1，-3），（-1，-1），故只需當橫坐標等于1和-1時，縱坐標不等于-3和-1即可．

解答 解：（1）若a=0，f（x）=（2b+1）x-2，
∵當x∈[$\frac{1}{2}$，1]時恒有f（x）≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}f（1）≥0\\ f（{\frac{1}{2}}）≥0\end{array}\right.$，$b∈[{\frac{3}{2}，+∞}）$-------------（8分）
（2）b=-1時，y=a（x²-1）-x-2，即y+x+2=a（x²-1）當$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-1=0\\ y+x+2=0\end{array}\right.$時，a∈R；
即當a為不等于0 的任意實數(shù)時，函數(shù)恒過點（1，-3），（-1，-1），
∴由函數(shù)定義可知，函數(shù)y=f（x）的圖象永遠不經(jīng)過A（1，m），B（-1，n）（其中m≠-3，n≠-1）----（16分）

點評 考查了一次函數(shù)區(qū)間內(nèi)恒為正值的求法，函數(shù)恒過定點問題的求法．