Question

12．已知函數(shù)f（x）=|3x+2|．
（1）解不等式f（x）＜4-|x-1|；
（2）已知2m+n=1（m，n＞0），若|3x-a|-f（x）≤$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$（a＞0）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）直接運(yùn)用零點(diǎn)分段法求解含絕對(duì)值不等式；
（2）先求出$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值為8，再用絕對(duì)值三角不等式將問題等價(jià)為：|a+2|≤8，解出即可．

解答 解：（1）不等式：f（x）＜4-|x-1|可寫成，
|3x+2|+|x-1|＜4，用“零點(diǎn)分段法”解答如下：
①當(dāng)x≥1時(shí)，3x+2+x-1＜4，x∈∅；
②當(dāng)-$\frac{2}{3}$≤x＜1時(shí)，3x+2-x+1＜4，解得，-$\frac{2}{3}$≤x＜$\frac{1}{2}$；
③當(dāng)x＜-$\frac{2}{3}$時(shí)，-3x-2-1+x＜4，解得，-$\frac{5}{4}$＜x＜-$\frac{2}{3}$，
綜合以上討論得，不等式的解集為：{x|-$\frac{5}{4}$＜x＜$\frac{1}{2}$}；
（2）因?yàn)?m+1=1，且m＞0，n＞0，
所以，$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$）（2m+n）=2+2+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$≥8，
即$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值為8，
根據(jù)題意問題等價(jià)為：|3x-a|-f（x）≤8恒成立，
即|3x-a|-|3x+2|≤8對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，
再由絕對(duì)值三角不等式得，
|3x-a|-|3x+2|≤|a+2|≤8，
解得，a∈（0，6]，
所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為：（0，6]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了絕對(duì)值不等式的解法，以及絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用和不等式恒成立問題的解法，考查了分類討論與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．