Question

13．若AB是過橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）中心的一條弦，M是橢圓上任意一點，且AM、BM與坐標軸不平行，k_AM、k_BM分別表示直線AM、BM的斜率，則k_AM•k_BM=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．

Answer 1

分析 設(shè)直線AB的斜率存在時方程為y=kx，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．M（x₀，y₀）．代入橢圓方程可得${y}_{0}^{2}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{x}_{0}^{2}）$．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為x²=$\frac{{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$=-x₁x₂，x₁+x₂=y₁+y₂=0，y₁y₂=k²x₁x₂．代入k_AM•k_BM=$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{0}-{y}_{2}}{{x}_{0}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}^{2}-{y}_{0}（{y}_{1}+{y}_{2}）+{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{0}^{2}-{x}_{0}（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$，化簡即可得出．

解答 解：設(shè)直線AB的斜率存在時方程為y=kx，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．M（x₀，y₀）．
則$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}=1$，解得${y}_{0}^{2}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{x}_{0}^{2}）$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為x²=$\frac{{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
且x₁+x₂=y₁+y₂=0，x₁x₂=-$\frac{{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
y₁y₂=k²x₁x₂=-k²•$\frac{{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$．
∴k_AM•k_BM=$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{0}-{y}_{2}}{{x}_{0}-{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}^{2}-{y}_{0}（{y}_{1}+{y}_{2}）+{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{0}^{2}-{x}_{0}（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}^{2}-\frac{{a}^{2}^{2}{k}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}{{x}_{0}^{2}-\frac{{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$=$\frac{\frac{^{2}}{{a}^{2}}（{a}^{2}-{x}_{0}^{2}）-\frac{{a}^{2}^{2}{k}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}{{x}_{0}^{2}-\frac{{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．
故答案為：-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．