Question

9．下列命題中正確命題的序號為①②③④．（寫出所有正確命題的序號）
①用符號表示“點A在直線a上，直線b在平面α外，直線l與平面β相交于點B”為A∈a，b?α，l∩β=B；
②如果直線AB、CD是兩條異面直線，那么直線AC、BD是異面直線；
③直線a∥平面α，直線b⊥平面α，則a⊥b；
④四面體ABCD中，若AB⊥CD，AD⊥BC，則AC⊥BD．

Answer 1

分析 在①中，由點在直線上，直線在平面外，直線與平面相交于點的表示法能判斷①的正誤；在②中使用反證法能判斷②的正誤；在③中，由直線與平面平行和直線與平面垂直的性質定理得a⊥b；在④中，要證線線垂直，可先證線面垂直，進而由線面垂直的定義（或性質）得出線線垂直．

解答 解：①點A在直線a上，表示為A∈a；直線b在平面α外，表示為b?α；直線l與平面β相交于點B，表示為l∩β=B．故①正確；
②假設直線AC、BD是共面直線，則A、B、C、D共面，則直線AB、CD是兩條共面直線，
這與直線AB、CD是兩條異面直線相矛盾，故直線AC、BD是異面直線，故②正確；
③∵直線a∥平面α，直線b⊥平面α，∴由直線與平面平行和直線與平面垂直的性質定理得a⊥b，故③正確；
④過A作AO⊥平面BCD，垂足為O，則AO⊥CD．∵AB⊥CD，AO∩AB=A，∴CD⊥平面ABO．∵BO?平面ABO，∴CD⊥BO．
同理BC⊥DO．則O為△BCD的重心，
∴CO⊥BD．∵AO⊥BD，CO∩AO=O，
∴BD⊥平面ACO，∴AC?平面ACO，∴AC⊥BD．故④正確．
故答案為：①②③④．

點評 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．