Question

4．已知M（x₀，y₀）是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$≤0，則M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離|MO|的最大值為（　�。�

• A． 4
• B． 5
• C． 3
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求得雙曲線的a，b，c，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，以及向量$\overrightarrow{M{F}_{1}}$，$\overrightarrow{M{F}_{2}}$的坐標(biāo)，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得x₀²+y₀²≤25，由兩點(diǎn)的距離公式，可得最大值．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的a=4，b=3，可得c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=5，
即有F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），
$\overrightarrow{M{F}_{1}}$=（-5-x₀，-y₀），$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（5-x₀，-y₀），
由$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$≤0，即為
（-5-x₀）（5-x₀）+y₀²≤0，
即有x₀²+y₀²≤25，
則M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離|MO|為：
$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$≤5，
即有最大值為5．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．