Question

10．函數(shù)f（x）=lnx-ax²+x有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． （-∞，1）
• C． （-∞，$\frac{1+e}{{e}^{2}}$）
• D． （0，$\frac{1+e}{{e}^{2}}$）

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=lnx-ax²+x有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=lnx和h（x）=ax²-x交點(diǎn)的問(wèn)題；
討論a≤0時(shí)不滿足題意，a＞0時(shí)，求得（a）max=1，當(dāng)x→+∞時(shí)，a→0，從而可得答案．
或a＞0時(shí)，作出兩函數(shù)g（x）=lnx，h（x）=ax²-x的圖象，由$\frac{1}{a}$＞1求出a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=lnx-ax²+x有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
不妨令g（x）=lnx，h（x）=ax²-x，
將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的問(wèn)題；
又函數(shù)h（x）=x（ax-1），
當(dāng)a≤0時(shí)，g（x）和h（x）只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意；
當(dāng)a＞0時(shí)，由lnx-ax²+x=0，得a=$\frac{x+lnx}{{x}^{2}}$；
令r（x）=$\frac{x+lnx}{{x}^{2}}$，則r′（x）=$\frac{（1+\frac{1}{x}）{•x}^{2}-（lnx+x）•2x}{{x}^{4}}$=$\frac{1-x-2lnx}{{x}^{3}}$，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，r'（x）＞0，r（x）是單調(diào)增函數(shù)，
當(dāng)x＞1時(shí)，r'（x）＜0，r（x）是單調(diào)減函數(shù)，且$\frac{x+lnx}{{x}^{2}}$＞0，∴0＜a＜1；
或當(dāng)a＞0時(shí)，作出兩函數(shù)g（x）=lnx，h（x）=ax²-x的圖象，如圖所示；
g（x）=lnx交x軸于點(diǎn)（1，0），
h（x）=ax²-x交x軸于點(diǎn)（0，0）和點(diǎn)（$\frac{1}{a}$，0）；
要使方程有兩個(gè)零點(diǎn)，應(yīng)滿足兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，
即$\frac{1}{a}$＞1，解得0＜a＜1；
∴a的取值范圍是（0，1）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的判斷問(wèn)題，也考查了分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問(wèn)題，是難題．