Question

1．已知|z|=1，設(shè)u=z²-i+1，則|u|的取值范圍[-1$+\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由u=z²-i+1，推出u-（1-i）=z²，兩端取模，可得|u-（1-i）|=1，利用其幾何意義可得答案．

解答 解：由u=z²-i+1，推出u-（1-i）=z²，
兩端取模，可得|u-（1-i）|=1，
設(shè)u=x+yi，
由|u-（1-i）|=1，得|（x-1）+（y+1）i|=1．
所以復(fù)數(shù)u位于以（1，-1）為圓心，以1為半徑的圓周上．
而（1，-1）到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為$\sqrt{2}$．
所以|u|的取值范圍是[-1$+\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$]．
故答案為[-1$+\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)求模問(wèn)題，根據(jù)|u-（1-i）|=1，利用其幾何意義是解答本題的關(guān)鍵．