Question

19．已知正四面體ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AB，AC的中點(diǎn)，球O是正四面體ABCD的外接球，球O截直線EF所得的弦長(zhǎng)為6$\sqrt{5}$，則正四面體的棱長(zhǎng)為（　�。�

• A． 6$\sqrt{5}$
• B． 12
• C． 6$\sqrt{3}$
• D． 6$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 把四面體補(bǔ)成正方體，兩者的外接球是同一個(gè)，求出正方體的棱長(zhǎng)，然后求出正方體的對(duì)角線長(zhǎng)，可得正四面體的外接球的半徑，求出球心到EF的距離，求出球O截直線EF所得弦長(zhǎng)，即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖，將四面體補(bǔ)成正方體，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為$\sqrt{2}$a，則正方體的棱長(zhǎng)是a，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為：$\sqrt{3}$a，
正四面體的外接球的半徑為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．
設(shè)球心為O，O到EF的距離為d，則d=$\sqrt{（\frac{1}{2}a）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{4}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a．
∴O截直線EF所得弦長(zhǎng)為2$\sqrt{\frac{3}{4}{a}^{2}-\frac{2}{16}{a}^{2}}$=6$\sqrt{5}$，
∴a=12．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題是基礎(chǔ)題，考查空間想象能力，正四面體的外接球轉(zhuǎn)化為正方體外接球，使得問題的難度得到降低，問題得到解決，注意正方體的對(duì)角線就是球的直徑，也是比較重要的．