Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=xe^x-ax+a，若存在唯一的整數(shù)x₀，使得f（x₀）＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{2}{3{e}^{2}}$，$\frac{1}{2e}$）
• B． [$\frac{2}{3{e}^{2}}$，$\frac{1}{2e}$）
• C． [-$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$）
• D． [$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$）

Answer 1

分析 令y=xe^x，y=ax-a，從而討論兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)作出y=xe^x與y=ax-a的圖象，從而結(jié)合圖象可知$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=a≥0}\\{f（-1）=-\frac{1}{e}+2a＜0}\\{f（-2）=-2\frac{1}{{e}^{2}}+3a≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=e＞0}\\{f（2）=2{e}^{2}-2a+a＜0}\\{f（3）=3{e}^{3}-3a+a≥0}\end{array}\right.$，從而解得．

解答 解：令y=xe^x，y=ax-a，
∵y′=e^x（x+1），
∴y=xe^x在（-∞，-1]上是減函數(shù)，在（-1，+∞）上是增函數(shù)，
又∵y=ax-a是恒過點(diǎn)（1，0）的直線，
∴作y=xe^x與y=ax-a的圖象如下，
，
當(dāng)直線y=ax-a與y=xe^x相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為（x，xe^x），
則$\frac{x{e}^{x}}{x-1}$=e^x+xe^x，
則x=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；
結(jié)合圖象可知，$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=a≥0}\\{f（-1）=-\frac{1}{e}+2a＜0}\\{f（-2）=-2\frac{1}{{e}^{2}}+3a≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=e＞0}\\{f（2）=2{e}^{2}-2a+a＜0}\\{f（3）=3{e}^{3}-3a+a≥0}\end{array}\right.$，
解得，a∈[$\frac{2}{3{e}^{2}}$，$\frac{1}{2e}$）∪（2e²，$\frac{3}{2}$e³]，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．