Question

8．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₄+a₅+a₆+a₇+a₈=25，S₁₂=54．
（1）求a_n；
（2）求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₄+a₅+a₆+a₇+a₈=25，S₁₂=54．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)及其前n項(xiàng)和公式即可得出．
（2）S_n=$-\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{21}{2}$n．設(shè)T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．令a_n≥0，解得n≤11．可得當(dāng)n≤11時(shí)，T_n=S_n．當(dāng)n≥12時(shí)，T_n=a₁+a₂+…+a₁₁-a₁₂-…-a_n=2S₁₁-S_n，即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₄+a₅+a₆+a₇+a₈=25，S₁₂=54．
∴5a₆=25，即a₆=5=a₁+5d，12a₁+$\frac{12×11}{2}$d=54，
聯(lián)立解得a₁=10，d=-1．
∴a_n=10-（n-1）=11-n．
（2）S_n=$\frac{n（10+11-n）}{2}$=$-\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{21}{2}$n．
設(shè)T_n=|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．
令a_n≥0，解得n≤11．
∴當(dāng)n≤11時(shí)，T_n=S_n=$-\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{21}{2}$n．
當(dāng)n≥12時(shí)，T_n=a₁+a₂+…+a₁₁-a₁₂-…-a_n
=2S₁₁-S_n
=$2（-\frac{1}{2}×1{1}^{2}+\frac{21}{2}×11）$-（$-\frac{1}{2}{n}^{2}$+$\frac{21}{2}$n）
=110+$\frac{1}{2}{n}^{2}$-$\frac{21}{2}n$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{21}{2}n，n≤11}\\{110+\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{21}{2}n，n≥12}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)及其前n項(xiàng)和公式、含絕對(duì)值數(shù)列求和問(wèn)題，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．