Question

6．已知直線l：2x-y+m=0，m∈R，圓C：x²+y²=5．
（Ⅰ）當m為何值時，l與C無公共點；
（Ⅱ）當m為何值時，l被C截得的弦長為2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根直線和圓的位置關系進行求解即可；
（Ⅱ）根據直線和圓相交時的弦長公式進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知，圓心為O（0，0），半徑r=$\sqrt{5}$，
圓心到直線2x-y+m=0的距離d=$\frac{|m|}{{\sqrt{{2^2}+{{（-1）}^2}}}}$=$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$，…（2分）
∵直線與圓無公共點，∴d＞r，即$\frac{|m|}{\sqrt{5}}$＞$\sqrt{5}$，…（4分）
∴m＞5或m＜-5．
故當m＞5或m＜-5時，直線與圓無公共點．…（5分）
（Ⅱ）如圖，由平面幾何垂徑定理知r²-d²=1²．…（7分）

即5-$\frac{m2}{5}$=1，得m=±2$\sqrt{5}$，
∴當m=±2$\sqrt{5}$時，直線被圓截得的弦長為2．…（10分）

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系的判斷和應用，根據直線和圓相交時的弦長公式是解決本題的關鍵．