Question

【題目】已知函數(shù)（）．

（1）若曲線過(guò)點(diǎn)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；

（3）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，，求證：．

Answer 1

【答案】（1）切線方程為（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）由點(diǎn)在曲線，可解得，求導(dǎo)，可得切線的斜率為0，進(jìn)而得到切線方程（2）求導(dǎo)，對(duì)分，，，四種情況分類討論，分別求出在不同情況下在區(qū)間上的最大值；（3）將所證的結(jié)論轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問(wèn)題得以解決．

試題解析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以，解得，

因?yàn)?/span>，所以切線的斜率為0，

所以切線方程為．

（2）因?yàn)?/span>．

①當(dāng)時(shí)，，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；

②當(dāng)，即時(shí)，，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；

③當(dāng)，即時(shí)，

函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

則；

④當(dāng)，即時(shí)，，，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，則．

綜上，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，．

（3）不妨設(shè)，

因?yàn)?/span>，

所以，，

可得，，

要證明，即證明，也就是．

因?yàn)?/span>，

所以即證明，

即，

令，則，于是，

令（），

則，

故函數(shù)在上是增函數(shù)，

所以，即成立，所以原不等式成立．