Question

6．過拋物線x²=2py（p＞0）的焦點F作傾斜角為30°的直線，與拋物線分別交于A，B兩點（點A在y軸左側(cè)），則$\frac{|FB|}{|AF|}$=3．

Answer 1

分析 作AA₁⊥x軸，BB₁⊥x軸．則可知AA₁∥OF∥BB₁，根據(jù)比例線段的性質(zhì)可知$\frac{|FB|}{|AF|}$=$\frac{|O{B}_{1}|}{|O{A}_{1}|}$=$\frac{|{x}_{B}|}{|{x}_{A}|}$，根據(jù)拋物線的焦點和直線的傾斜角可表示出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去x，根據(jù)韋達定理求得x_A+x_B和x_Ax_B的表達式，進而可求得x_Ax_B=-（$\frac{{x}_{A}+{x}_{B}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$）²，整理后兩邊同除以x_A²得關(guān)于$\frac{{x}_{B}}{{x}_{A}}$的一元二次方程，求得$\frac{{x}_{B}}{{x}_{A}}$的值，進而求得$\frac{|FB|}{|AF|}$．

解答 解：如圖，作AA₁⊥x軸，BB₁⊥x軸．
則AA₁∥OF∥BB₁，
∴$\frac{|FB|}{|AF|}$=$\frac{|O{B}_{1}|}{|O{A}_{1}|}$=$\frac{|{x}_{B}|}{|{x}_{A}|}$，
又已知x_A＜0，x_B＞0，
∴$\frac{|FB|}{|AF|}$=-$\frac{{x}_{B}}{{x}_{A}}$，
∵直線AB方程為y=xtan30°+$\frac{p}{2}$
即y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{p}{2}$，
與x²=2py聯(lián)立得x²-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$px-p²=0
∴x_A+x_B=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$p，x_A•x_B=-p²，
∴x_Ax_B=-p²=-（$\frac{{x}_{A}+{x}_{B}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$）²
=-$\frac{3}{4}$（x_A²+x_B²+2x_Ax_B）
∴3x_A²+3x_B²+10x_Ax_B=0
兩邊同除以x_A²（x_A²≠0）得
3（$\frac{{x}_{B}}{{x}_{A}}$）²+10$\frac{{x}_{B}}{{x}_{A}}$+3=0
∴$\frac{{x}_{B}}{{x}_{A}}$=-3或-$\frac{1}{3}$．
又∵x_A+x_B=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$p＞0，
∴x_A＞-x_B，
∴$\frac{{x}_{B}}{{x}_{A}}$＜-1，
∴$\frac{|FB|}{|AF|}$=-$\frac{{x}_{B}}{{x}_{A}}$=3．
故答案為：3

點評 本題主要考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的關(guān)系以及比例線段的知識．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．