Question

15．如圖，在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∠A=90°，$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{AQ}$=n$\overrightarrow{QC}$，m，n＞0，且滿足$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{2}$，M是BC的中點(diǎn)，對任意的λ∈R，|λ•$\overrightarrow{QP}$+$\overrightarrow{QM}$|的最小值記為f（m），則對任意m＞0，f（m）的最大值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得A、B、CM的坐標(biāo)，求得P、Q的坐標(biāo)，由|λ•$\overrightarrow{QP}$+$\overrightarrow{QM}$|的最小值等于點(diǎn)M到直線PQ的距離，求得f（m）的解析式，再根據(jù)它的幾何意義求得它的范圍，可得它的最大值．

解答 解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0），B（4，0），C（0，3）；
∵$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{AQ}$=n$\overrightarrow{QC}$，m，n＞0，有P（$\frac{4m}{m+1}$，0），Q（0，$\frac{3n}{n+1}$）；

如圖，λ$\overrightarrow{QP}$在直線m上，由平行四邊形法則，向量λ$\overrightarrow{QP}$+$\overrightarrow{QM}$的起點(diǎn)為Q，終點(diǎn)為直線n上一點(diǎn)T，有$\overrightarrow{QT}$=λ$\overrightarrow{QP}$+$\overrightarrow{QM}$；
當(dāng)$\overrightarrow{QT}$⊥直線n時(shí)，|λ•$\overrightarrow{QP}$+$\overrightarrow{QM}$|最小，即|λ•$\overrightarrow{QP}$+$\overrightarrow{QM}$|最小值為直線m與直線n的距離．
直線PQ：$\frac{x}{\frac{4m}{m+1}}+\frac{y}{\frac{3n}{n+1}}=1$，點(diǎn)M（2，$\frac{3}{2}$），
則M到PQ的距離d=$\frac{|\frac{2}{\frac{4m}{m+1}}+\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3n}{n+1}}-1|}{\sqrt{（\frac{m+1}{4m}）^{2}+（\frac{n+1}{3n}）^{2}}}$=$\frac{|\frac{1}{2m}+\frac{1}{2n}|}{\sqrt{（\frac{1}{4}+\frac{1}{4}•\frac{1}{m}）^{2}+（\frac{1}{3}+\frac{1}{3}•\frac{1}{n}）^{2}}}$；
∵$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{2}$，
d=$\frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{（\frac{1}{4}+\frac{1}{4}•\frac{1}{m}）^{2}+（\frac{1}{3}+\frac{1}{3}•\frac{1}{n}）^{2}}}$=$\frac{1}{4\sqrt{\frac{25}{144}•（\frac{1}{m}）^{2}-\frac{5}{24}•\frac{1}{m}+\frac{5}{16}}}$=f（m）；
對y=$\frac{25}{144}•（\frac{1}{m}）^{2}-\frac{5}{24}•\frac{1}{m}+\frac{5}{16}$為二次函數(shù)，當(dāng)$\frac{1}{m}$=$\frac{3}{5}$時(shí)，y最小為$\frac{1}{4}$，
所以f（m）_max=$\frac{1}{4\sqrt{\frac{1}{4}}}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，向量運(yùn)算的幾何意義，點(diǎn)到直線的距離公式、函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．