Question

7．若函數(shù)f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-cosωx的圖象相鄰兩個對稱中心之間的距離為$\frac{π}{2}$，則f（x）的一個單調增區(qū)間為（　�。�

• A． （-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$）
• B． （-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$）
• C． （$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$）
• D． （$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$）

Answer 1

分析 根據(jù)兩角和差的正弦公式以及三角函數(shù)的輔助角公式化簡f（x），結合函數(shù)的性質求出函數(shù)的周期和ω，結合三角函數(shù)的單調性進行求解即可．

解答 解：f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-cosωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx+$\frac{1}{2}$cosωx-cosωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx-$\frac{1}{2}$cosωx=sin（ωx-$\frac{π}{6}$），
∵f（x）的圖象相鄰兩個對稱中心之間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴函數(shù)的周期T=2×$\frac{π}{2}$=π，即$\frac{2π}{ω}=π$，∴ω=2，
則f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z
解得：x∈$[-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ]$，k∈Z，
即函數(shù)的單調遞增區(qū)間為$[-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ]$，k∈Z，
當k=0時，增區(qū)間為（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$），
故選：A．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的單調性的判斷，利用兩角和差的正弦公式將函數(shù)進行化簡求出函數(shù)f（x）的解析式是解決本題的關鍵．