Question

18．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F（1，0），且點P（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓上；
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）當點P（x，y）在橢圓C上運動時，點Q（$\frac{\sqrt{3}x}{3}$，$\frac{2y}{3}$）在曲線S上運動，求曲線S的軌跡方程，并指出該曲線是什么圖形；
（3）過橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}-\frac{5}{3}}$=1上異于其頂點的任意一點Q作曲線S的兩條切線，切點分別為M，N（M，N不在坐標軸上），若直線MN在x軸，y軸的截距分別為m，n，試問：$\frac{1}{3{m}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由焦點坐標確定出c的值，根據(jù)橢圓的性質列出a與b的方程，再將P點坐標代入橢圓方程列出關于a與b的方程，聯(lián)立求出a與b的值，確定出橢圓方程即可．
（2）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，Q（$\frac{2\sqrt{3}}{3}co{s}^{2}θ$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ$），（0≤θ＜2π），由此能求出曲線S的軌跡方程，并能指出該曲線是什么圖形．
（3）由題意：確定出C₁的方程，設點P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），N（x₃，y₃），根據(jù)M，N不在坐標軸上，得到直線PM與直線OM斜率乘積為-1，確定出直線PM的方程，同理可得直線PN的方程，進而確定出直線MN方程，求出直線MN與x軸，y軸截距m與n，即可確定出所求式子的值為定值．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$的右焦點為F（1，0），且點P（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓C上；
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）∵點P（x，y）在橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$上運動時，點Q（$\frac{\sqrt{3}x}{3}$，$\frac{2y}{3}$）在曲線S上運動，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，∴Q（$\frac{2\sqrt{3}}{3}co{s}^{2}θ$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ$），（0≤θ＜2π），
∴曲線S的軌跡方程為${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{3}$，
曲線S是以原點為圓心，以$\frac{2\sqrt{3}}{3}$為半徑的圓．
（3）由題意：C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1，
設點Q（x₁，y₁），M（x₂，y₂），N（x₃，y₃），
∵M，N不在坐標軸上，∴k_PM=-$\frac{1}{{k}_{OM}}$=-$\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$，
∴直線QM的方程為y-y₂=-$\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$（x-x₂），
化簡得：x₂x+y₂y=$\frac{4}{3}$，①，
同理可得直線QN的方程為x₃x+y₃y=$\frac{4}{3}$，②，
把Q點的坐標代入①、②得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}{x}_{1}+{y}_{2}{y}_{1}=\frac{4}{3}}\\{{x}_{3}{x}_{1}+{y}_{3}{y}_{1}=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線MN的方程為x₁x+y₁y=$\frac{4}{3}$，
令y=0，得m=$\frac{4}{3{x}_{1}}$，令x=0得n=$\frac{4}{3{y}_{1}}$，
∴x₁=$\frac{4}{3m}$，y₁=$\frac{4}{3n}$，
又點Q在橢圓C₁上，
∴（$\frac{4}{3m}$）²+3（$\frac{4}{3n}$）²=4，
則$\frac{1}{3{m}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$=$\frac{3}{4}$為定值．

點評 本題考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的標準方程，韋達定理，以及橢圓的簡單性質，熟練掌握橢圓的簡單性質是解本題的關鍵．