分析 (1)由焦點(diǎn)坐標(biāo)確定出c的值,根據(jù)橢圓的性質(zhì)列出a與b的方程,再將P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程列出關(guān)于a與b的方程,聯(lián)立求出a與b的值,確定出橢圓方程即可.
(2)由題意:確定出C1的方程,設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),M(x2,y2),N(x3,y3),根據(jù)M,N不在坐標(biāo)軸上,得到直線PM與直線OM斜率乘積為-1,確定出直線PM的方程,同理可得直線PN的方程,進(jìn)而確定出直線MN方程,求出直線MN與x軸,y軸截距m與n,即可確定出所求式子的值為定值.
(3)依題意可得符合要求的圓E,即為過(guò)點(diǎn)F,P1,P2的三角形的外接圓.所以圓心在x軸上.根據(jù)題意寫(xiě)出圓E的方程.由于圓的存在必須要符合,橢圓上的點(diǎn)到圓E距離的最小值是|P1E|,結(jié)合圖形可得圓心E在線段P1P2上,半徑最。钟捎邳c(diǎn)F已知,即可求得結(jié)論.
解答 解:(1)∵橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1(a>b>0)$的右焦點(diǎn)為F(1,0),且點(diǎn)P(1,$\frac{3}{2}$)在橢圓C上;
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$,解得a=2,b=$\sqrt{3}$,
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$.
(2)由題意:C1:$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1,
設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),M(x2,y2),N(x3,y3),
∵M(jìn),N不在坐標(biāo)軸上,∴kPM=-$\frac{1}{{k}_{OM}}$=-$\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$,
∴直線PM的方程為y-y2=-$\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$(x-x2),
化簡(jiǎn)得:x2x+y2y=$\frac{4}{3}$,①,
同理可得直線PN的方程為x3x+y3y=$\frac{4}{3}$,②,
把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入①、②得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}{x}_{1}+{y}_{2}{y}_{1}=\frac{4}{3}}\\{{x}_{3}{x}_{1}+{y}_{3}{y}_{1}=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$,
∴直線MN的方程為x1x+y1y=$\frac{4}{3}$,
令y=0,得m=$\frac{4}{3{x}_{1}}$,令x=0得n=$\frac{4}{3{y}_{1}}$,
∴x1=$\frac{4}{3m}$,y1=$\frac{4}{3n}$,
又點(diǎn)P在橢圓C1上,
∴($\frac{4}{3m}$)2+3($\frac{4}{3n}$)2=4,
則$\frac{1}{3{m}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$=$\frac{3}{4}$為定值.
(3)由橢圓的對(duì)稱(chēng)性,可以設(shè)P1(m,n),P2(m,-n),點(diǎn)E在x軸上,設(shè)點(diǎn)E(t,0),
則圓E的方程為:(x-t)2+y2=(m-t)2+n2,
由內(nèi)切圓定義知道,橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)E距離的最小值是|P1E|,
設(shè)點(diǎn)M(x,y)是橢圓C上任意一點(diǎn),則|ME|2=(x-t)2+y2=$\frac{3}{4}{x}^{2}-2tx+{t}^{2}+1$,
當(dāng)x=m時(shí),|ME|2最小,∴m=-$\frac{-2t}{3}=\frac{4t}{3}$,③,
又圓E過(guò)點(diǎn)F,∴(-$\sqrt{3}-t$)2=(m-t)2+n2,④
點(diǎn)P1在橢圓上,∴${n}^{2}=1-\frac{{m}^{2}}{4}$,⑤
由③④⑤,解得:t=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或t=-$\sqrt{3}$,
又t=-$\sqrt{3}$時(shí),m=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$<-2,不合題意,
綜上:橢圓C存在符合條件的內(nèi)切圓,點(diǎn)E的坐標(biāo)是(-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,0).
點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,韋達(dá)定理,以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),熟練掌握橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.
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A. | S>384,i=i+1 | B. | S≥384,i=i+2 | C. | S>3840,i=i+1 | D. | S≥3840,i=i+2 |
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A. | $\frac{3}{4}$ | B. | $\frac{5}{4}$ | C. | $\frac{3}{4}$或$\frac{5}{4}$ | D. | $\frac{1}{2}$ |
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