3.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1(a>b>0)$的右焦點(diǎn)為F(1,0),且點(diǎn)P(1,$\frac{3}{2}$)在橢圓C上;
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)橢圓C1:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}-\frac{5}{3}}$=1上異于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)Q作圓O:x2+y2=$\frac{4}{3}$的兩條切線,切點(diǎn)分別為M、N(M、N不在坐標(biāo)軸上),若直線MN在x軸,y軸上的截距分別為m、n,證明:$\frac{1}{3{m}^{2}}+\frac{1}{{n}^{2}}$為定值;
(3)若P1、P2是橢圓C2:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{3{y}^{2}}{^{2}}=1$上不同兩點(diǎn),P1P2⊥x軸,圓E過(guò)P1、P2,且橢圓C2上任意一點(diǎn)都不在圓E內(nèi),則稱(chēng)圓E為該橢圓的一個(gè)內(nèi)切圓,試問(wèn):橢圓C2是否存在過(guò)焦點(diǎn)F的內(nèi)切圓?若存在,求出圓心E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

分析 (1)由焦點(diǎn)坐標(biāo)確定出c的值,根據(jù)橢圓的性質(zhì)列出a與b的方程,再將P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程列出關(guān)于a與b的方程,聯(lián)立求出a與b的值,確定出橢圓方程即可.
(2)由題意:確定出C1的方程,設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),M(x2,y2),N(x3,y3),根據(jù)M,N不在坐標(biāo)軸上,得到直線PM與直線OM斜率乘積為-1,確定出直線PM的方程,同理可得直線PN的方程,進(jìn)而確定出直線MN方程,求出直線MN與x軸,y軸截距m與n,即可確定出所求式子的值為定值.
(3)依題意可得符合要求的圓E,即為過(guò)點(diǎn)F,P1,P2的三角形的外接圓.所以圓心在x軸上.根據(jù)題意寫(xiě)出圓E的方程.由于圓的存在必須要符合,橢圓上的點(diǎn)到圓E距離的最小值是|P1E|,結(jié)合圖形可得圓心E在線段P1P2上,半徑最。钟捎邳c(diǎn)F已知,即可求得結(jié)論.

解答 解:(1)∵橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1(a>b>0)$的右焦點(diǎn)為F(1,0),且點(diǎn)P(1,$\frac{3}{2}$)在橢圓C上;
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$,解得a=2,b=$\sqrt{3}$,
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$.
(2)由題意:C1:$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1,
設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),M(x2,y2),N(x3,y3),
∵M(jìn),N不在坐標(biāo)軸上,∴kPM=-$\frac{1}{{k}_{OM}}$=-$\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$,
∴直線PM的方程為y-y2=-$\frac{{x}_{2}}{{y}_{2}}$(x-x2),
化簡(jiǎn)得:x2x+y2y=$\frac{4}{3}$,①,
同理可得直線PN的方程為x3x+y3y=$\frac{4}{3}$,②,
把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入①、②得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}{x}_{1}+{y}_{2}{y}_{1}=\frac{4}{3}}\\{{x}_{3}{x}_{1}+{y}_{3}{y}_{1}=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$,
∴直線MN的方程為x1x+y1y=$\frac{4}{3}$,
令y=0,得m=$\frac{4}{3{x}_{1}}$,令x=0得n=$\frac{4}{3{y}_{1}}$,
∴x1=$\frac{4}{3m}$,y1=$\frac{4}{3n}$,
又點(diǎn)P在橢圓C1上,
∴($\frac{4}{3m}$)2+3($\frac{4}{3n}$)2=4,
則$\frac{1}{3{m}^{2}}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$=$\frac{3}{4}$為定值.
(3)由橢圓的對(duì)稱(chēng)性,可以設(shè)P1(m,n),P2(m,-n),點(diǎn)E在x軸上,設(shè)點(diǎn)E(t,0),
則圓E的方程為:(x-t)2+y2=(m-t)2+n2,
由內(nèi)切圓定義知道,橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)E距離的最小值是|P1E|,
設(shè)點(diǎn)M(x,y)是橢圓C上任意一點(diǎn),則|ME|2=(x-t)2+y2=$\frac{3}{4}{x}^{2}-2tx+{t}^{2}+1$,
當(dāng)x=m時(shí),|ME|2最小,∴m=-$\frac{-2t}{3}=\frac{4t}{3}$,③,
又圓E過(guò)點(diǎn)F,∴(-$\sqrt{3}-t$)2=(m-t)2+n2,④
點(diǎn)P1在橢圓上,∴${n}^{2}=1-\frac{{m}^{2}}{4}$,⑤
由③④⑤,解得:t=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或t=-$\sqrt{3}$,
又t=-$\sqrt{3}$時(shí),m=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$<-2,不合題意,
綜上:橢圓C存在符合條件的內(nèi)切圓,點(diǎn)E的坐標(biāo)是(-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,0).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,韋達(dá)定理,以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),熟練掌握橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

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(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q($\frac{\sqrt{3}x}{3}$,$\frac{2y}{3}$)在曲線S上運(yùn)動(dòng),求曲線S的軌跡方程,并指出該曲線是什么圖形;
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