Question

5．己知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的離心率為2，過(guò)點(diǎn)P（0，m）（m＞0）斜率為1的直線與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-2
（Ⅰ）求雙曲線方程；
（Ⅱ）如果Q為雙曲線C右支上動(dòng)點(diǎn)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，在x軸的負(fù)半釉上是否存在定點(diǎn)M便得∠QFM=2∠QMF？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得c=2a，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線的方程y=x+m代入雙曲線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，求得A，B的坐標(biāo)（用m表示），計(jì)算即可得到a，b，c的值，進(jìn)而得到雙曲線的方程；
（Ⅱ）在x軸的負(fù)半釉上假設(shè)存在定點(diǎn)M便得∠QFM=2∠QMF．考慮當(dāng)QF⊥x軸時(shí)，直線QM的斜率為1，求得Q的坐標(biāo)和M的坐標(biāo)，猜想定點(diǎn)M（-1，0），再由直線的斜率公式和正切的二倍角公式，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到證明．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=2，可得c=2a，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線的方程y=x+m代入雙曲線的方程，可得
（b²-a²）x²-2a²mx-a²m²-a²b²=0，
x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}m}{^{2}-{a}^{2}}$=m，
x₁x₂=-$\frac{{a}^{2}{m}^{2}+{a}^{2}^{2}}{^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{{m}^{2}+3{a}^{2}}{2}$，
又$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-2，
可得-x₁=2x₂，x₁x₂+y₁y₂=-2，
即有x₁=2m，x₂=-m，y₁=3m，y₂=0，
可得-2m²=-2，解得m=1，
由m²+3a²=-2x₁x₂=4m²，解得a=m=1，
c=2，b=$\sqrt{3}$，
可得雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）在x軸的負(fù)半釉上假設(shè)存在定點(diǎn)M便得∠QFM=2∠QMF．
當(dāng)QF⊥x軸時(shí)，直線QM的斜率為1，且Q（2，3），
由F（2，0），設(shè)M（m，0），可得$\frac{3}{2-m}$=1，
解得m=-1，猜想定點(diǎn)M（-1，0），
設(shè)Q（s，t），即有3s²-t²=3，
tan∠QMF=$\frac{t}{s+1}$，tan2∠QMF=$\frac{2•\frac{t}{s+1}}{1-\frac{{t}^{2}}{（s+1）^{2}}}$=$\frac{2t（s+1）}{（s+1）^{2}-{t}^{2}}$
=$\frac{2t（s+1）}{（s+1）^{2}-3{s}^{2}+3}$=$\frac{2t（s+1）}{-2（s-2）（s+1）}$=$\frac{t}{2-s}$，
而tan∠QFM=-$\frac{t}{s-2}$，
即有tan∠QFM=tan2∠QMF，即有∠QFM=2∠QMF．
故存在定點(diǎn)M（-1，0），便得∠QFM=2∠QMF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用直線方程和雙曲線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，同時(shí)考查存在性問(wèn)題的解法，考查特殊位置猜想，然后驗(yàn)證的思想方法，屬于中檔題．