Question

9．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=1，a_n+1=2$\sqrt{{S}_{n}}$+1，n∈N^*．
（1）求a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）是否存在正整數(shù)k，使a_k，S_2k-1，a_4k成等比數(shù)列？若存在，求k的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將n=1代入式子即可求解；
（2）由a_n+1=2$\sqrt{{S}_{n}}$+1得${4S}_{n}=（{a}_{n+1}-1）^{2}$，令n取n-1代入上式可得${4S}_{n-1}={（{a}_{n}-1）}^{2}$，兩個(gè)式子相減后進(jìn)行化簡，利用等差數(shù)列的定義判斷，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出a_n；
（3）先假設(shè)存在正整數(shù)k滿足條件，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式列出方程，化簡后求出k的值，再由k是正整數(shù)進(jìn)行判斷．

解答 解：（1）因?yàn)閍₁=1，a_n+1=2$\sqrt{{S}_{n}}$+1，
所以a₂=2$\sqrt{{S}_{1}}$+1=2+1=3；
（2）由a_n+1=2$\sqrt{{S}_{n}}$+1得，${4S}_{n}=（{a}_{n+1}-1）^{2}$，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，${4S}_{n-1}={（{a}_{n}-1）}^{2}$，
兩個(gè)式子相減得，4a_n=（a_n+1+a_n-2）（a_n+1-a_n），
化簡得，（a_n+1-a_n-2）（a_n+1+a_n）=0，
因?yàn)閿?shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，
所以a_n+1-a_n-2=0，即a_n+1-a_n=2，
所以數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，
則a_n=1+（n-1）×2=2n-1；
（3）假設(shè)存在正整數(shù)k使a_k，S_2k-1，a_4k成等比數(shù)列，
則${{S}_{2k-1}}^{2}={a}_{k}{a}_{4k}$，
所以${[（2k-1）+\frac{（2k-1）（2k-1-1）}{2}×2]}^{2}$=（2k-1）（8k-1），
（2k-1）³=8k-1，化簡得4k²-6k-1=0，
解得${k}_{1}=\frac{6+\sqrt{52}}{8}$，${k}_{2}=\frac{6-\sqrt{52}}{8}$，
因?yàn)閗是正整數(shù)，所以不存在正整數(shù)k滿足條件．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的證明方法：定義法，等比中項(xiàng)的性質(zhì)、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式，以及數(shù)列的遞推公式的化簡及應(yīng)用，考查化簡、變形能力．