Question

7．在四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），$\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}$+$\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\sqrt{3}$$\frac{\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{BD}|}$，則四邊形ABCD的面積為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件可判定四邊形ABCD是菱形，并且邊長(zhǎng)為2，對(duì)等式$\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}$+$\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\sqrt{3}$$\frac{\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{BD}|}$取平方可求出cos∠ABC，從而求出sin∠ABC，

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵$\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}$+$\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\sqrt{3}$$\frac{\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{BD}|}$，∴BD平分∠ABC，即四邊形ABCD是菱形．
∴（$\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}$+$\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$）²=3（$\frac{\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{BD}|}$）²，即2+2cos∠ABC=3，
∴cos∠ABC=$\frac{1}{2}$，∴ABC=60°．
∴△ABD和△BCD是等邊三角形．
∵AB=$\sqrt{2+2}$=2，∴S_菱形ABCD=2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×AB²=2$\sqrt{3}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量加法的平行四邊形法則及單位向量的表示方法，求解本題的關(guān)鍵是判斷出四邊形ABCD是菱形．