Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²+x-ln（1+x）
（I）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=$\frac{5}{2}$x-b在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）證明：對任意的正整數(shù)n，不等式2+$\frac{3}{4}$+$\frac{4}{9}$+…+$\frac{n+1}{{n}^{2}}$＞ln（n+1）都成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）關(guān)于x的方程f（x）=$\frac{5}{2}$x-b在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，將問題轉(zhuǎn)化為φ（x）=0，在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，對φ（x）對進(jìn)行求導(dǎo)，從而求出b的范圍；
（3）f（x）=x²+x-ln（x+1）的定義域?yàn)閧x|x＞-1}，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，可以推出ln（x+1）-x²-x≤0，令x=$\frac{1}{n}$，可以得到ln（$\frac{n+1}{n}$）＜$\frac{n+1}{{n}^{2}}$，利用此不等式進(jìn)行放縮證明．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），且f′（x）=2x+1-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{x（2x+3）}{x+1}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜0，
∴函數(shù)f（x）在（-1，0）遞減，在（0，+∞）遞增；
（Ⅱ）f（x）=x²+x-ln（x+1）
由f（x）=$\frac{5}{2}$x-b，得ln（x+1）-x²+$\frac{3}{2}$x-b=0
令φ（x）=ln（x+1）-x²+$\frac{3}{2}$x-b，
則f（x）=$\frac{5}{2}$x-b在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于φ（x）=0在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．
φ′（x）=$\frac{1}{x+1}$-2x+$\frac{3}{2}$=$\frac{-（4x+5）（x-1）}{2（x+1）}$，
當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，φ′（x）＞0，于是φ（x）在[0，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，φ′（x）＜0，于是φ（x）在（1，2]上單調(diào)遞減，
依題意有φ（0）=-b≤0，
φ（1）=ln（1+1）-1+$\frac{3}{2}$-b＞0，
φ（2）=ln（1+2）-4+3-b≤0
解得，ln3-1≤b＜ln2+$\frac{1}{2}$，
故實(shí)數(shù)b的取值范圍為：[ln3-1，ln2+$\frac{1}{2}$）；
（Ⅲ）：f（x）=x²+x-ln（x+1）的定義域?yàn)閧x|x＞-1}，
由（1）知f′（x）=2x+1-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{x（2x+3）}{x+1}$，
令f′（x）=0得，x=0或x=-$\frac{3}{2}$（舍去），
∴當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
∴f（0）為f（x）在（-1，+∞）上的最小值．
∴f（x）≥f（0），故ln（x+1）-x²-x≤0（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立）
對任意正整數(shù)n，取x=$\frac{1}{n}$＞0得，ln（$\frac{1}{n}$+1）＜$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴l(xiāng)n（$\frac{n+1}{n}$）＜$\frac{n+1}{{n}^{2}}$，
故2+$\frac{3}{4}$＞ln2+ln$\frac{3}{2}$+ln$\frac{4}{3}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$=ln（n+1）．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及單調(diào)性，解題過程中用到了分類討論的思想，分類討論的思想也是高考的一個(gè)重要思想，要注意體會(huì)其在解題中的運(yùn)用，第三問難度比較大，利用了前兩問的結(jié)論進(jìn)行證明，此題屬于難題．