Question

11．已知△ABC的外心為O，重心為G，且2|AB|+|AC|=6，則$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AG}$的取值范圍是[$\frac{6}{5}，6$）．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}=|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AO}|•\frac{1}{2}\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AO}|}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}$，$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$，再由重心的性質(zhì)把$\overrightarrow{AG}$用$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$表示，展開(kāi)$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AG}$，結(jié)合2|AB|+|AC|=6化為關(guān)于|$\overrightarrow{AB}$|的二次函數(shù)，則答案可求．

解答 解：如圖，過(guò)點(diǎn)O分別作OF⊥AB于F，OH⊥AC于H，則F、H分別是AB、AC的中點(diǎn)，
可得Rt△AFO中，cos∠OAF=$\frac{|\overrightarrow{AF}|}{|\overrightarrow{AO}|}$=$\frac{1}{2}\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AO}|}$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}=|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AO}|•\frac{1}{2}\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AO}|}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}$，
同理可得$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$，
∵G為△ABC的重心，∴$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AG}$=$\overrightarrow{AO}•\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}）$=$\frac{1}{6}（|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}）$，
∵2|AB|+|AC|=6，∴0＜$|\overrightarrow{AB}|＜3$，且|$\overrightarrow{AC}$|=6-2|$\overrightarrow{AB}$|，
則$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{6}（|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+36-24|\overrightarrow{AB}|+4|\overrightarrow{AB}{|}^{2}）$=$\frac{1}{6}（5|\overrightarrow{AB}{|}^{2}-24|\overrightarrow{AB}|+36）$．
∵0＜$|\overrightarrow{AB}|＜3$，
∴當(dāng)|$\overrightarrow{AB}$|=$\frac{12}{5}$時(shí)，$（\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AG}）_{min}=\frac{24}{5}$；當(dāng)|$\overrightarrow{AB}$|→0時(shí)，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AG}$→6．
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AG}$的取值范圍是[$\frac{6}{5}，6$）．
故答案為：[$\frac{6}{5}，6$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，著重考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和三角形外心、重心等知識(shí)，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了二次函數(shù)最值的求法，屬于中檔題．