Question

14．（1）在平面直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊作一個鈍角θ，它的終邊交單位圓于P點．已知P點的縱坐標為$\frac{4}{5}$．求$\frac{{cos（π-θ）+sin（{\frac{3π}{2}-θ}）}}{tan（π+θ）+cos（2π-θ）}$的值．
（2）若對任意θ∈R，不等式cos²θ+2msinθ-2m-2＜0恒成立，求實數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得cosθ和sinθ的值，再利用誘導公式求得所給式子的值．
（2）由題意可得 （sinθ-m）²-m²+2m+1＞0 恒成立，即f（t）=（t-m）²-m²+2m+1＞0 恒成立，t∈[-1，1]．再利用二次函數(shù)的性質分類討論求得f（t）的最小值，再由f（t）的最小值大于零，求得m的范圍．

解答 解：（1）在平面直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊作一個鈍角θ，它的終邊交單位圓于P點，
若P點的縱坐標為$\frac{4}{5}$，則點P的橫坐標為-$\frac{3}{5}$，即cosθ=-$\frac{3}{5}$，sinθ=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{{cos（π-θ）+sin（{\frac{3π}{2}-θ}）}}{tan（π+θ）+cos（2π-θ）}$=$\frac{-cosθ-cosθ}{tanθ+cosθ}$=$\frac{\frac{6}{5}}{-\frac{4}{3}+（-\frac{3}{5}）}$=-$\frac{18}{29}$．
（2）若對任意θ∈R，不等式cos²θ+2msinθ-2m-2＜0恒成立，-sin²θ+2msinθ-2m-1＜0恒成立，
即-（sinθ-m）²+m²-2m-1＜0 恒成立，即 （sinθ-m）²-m²+2m+1＞0 恒成立，
即f（t）=（t-m）²-m²+2m+1＞0 恒成立，t∈[-1，1]．
故當m＜-1 時，f（t）的最小值為f（-1）=（-1-m）²-m²+2m+1＞0，求得m＞-$\frac{1}{2}$ （舍去），故此時m無解．
當m∈[-1，1]時，f（t）的最小值為f（m）=-m²+2m+1＞0，求得1-$\sqrt{2}$＜m＜1+$\sqrt{2}$，故此時m∈（1-$\sqrt{2}$，1]．
m＞1 時，f（t）的最小值為f（1）=（1-m）²-m²+2m+1＞0，求得m＞1．
綜上可得，要求的實數(shù)m的范圍為（1-$\sqrt{2}$，+∞）．

點評 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，誘導公式，二次函數(shù)的性質，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．