Question

2．已知x＞0，y＞0，且x+y＞2，求證：$\frac{1+y}{x}$＜2或$\frac{1+x}{y}$＜2．

Answer 1

分析 本題證明結(jié)論中結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，而其否定結(jié)構(gòu)簡單，故可用反證法證明其否定不成立，以此來證明結(jié)論成立．

解答 證明：假設(shè)：$\frac{1+y}{x}$≥2且$\frac{1+x}{y}$≥2．即 $\left\{\begin{array}{l}{1+x≥2y}\\{1+y≥2x}\end{array}\right.$，
∴2+x+y≥2x+2y，
∴x+y≤2，這與x+y＞2矛盾．
∴假設(shè)不成立，
∴$\frac{1+y}{x}$＜2或$\frac{1+x}{y}$＜2．

點(diǎn)評 本考點(diǎn)是反證法證明命題，在作證明題時，對于一些條件相對較少或者證明時需要分類討論的題型，最好試試用反證法能否證明問題．對于有些題如本題，用反證法證明可以大大降低題目的解決難度