Question

19．?dāng)?shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a^n-1+lg2ⁿ（a＞0），則此數(shù)列的前n項(xiàng)和為$\left\{\begin{array}{l}{\frac{lg2}{2}{n}^{2}+n（1+\frac{1}{2}lg2），a=1}\\{\frac{1-{a}^{n}}{1-a}+\frac{n（n-1）}{2}lg2，a＞0且a≠1}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 對a分類討論，再利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：a_n=a^n-1+lg2ⁿ=a^n-1+nlg2，
設(shè)則此數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n．
當(dāng)a=1時(shí)，a_n=1+nlg2，
∴S_n=（1+lg2）n+$\frac{n（n-1）}{2}×lg2$=$\frac{lg2}{2}$n²+n（1+$\frac{1}{2}$lg2）．
當(dāng)a＞0，且a≠1時(shí)，S_n=$\frac{1-{a}^{n}}{1-a}$+$\frac{n（n+1）}{2}$lg2．
綜上可得：S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{lg2}{2}{n}^{2}+n（1+\frac{1}{2}lg2），a=1}\\{\frac{1-{a}^{n}}{1-a}+\frac{n（n-1）}{2}lg2，a＞0且a≠1}\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{lg2}{2}{n}^{2}+n（1+\frac{1}{2}lg2），a=1}\\{\frac{1-{a}^{n}}{1-a}+\frac{n（n-1）}{2}lg2，a＞0且a≠1}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．