Question

3．二項(xiàng)式（x+$\frac{a}{x}$）⁵的展開式中x³的系數(shù)是x的系數(shù)的2倍，則實(shí)數(shù)a的值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求出展開式中x³的系數(shù)與x的系數(shù)，列出方程求出a的值．

解答 解：由題意得，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為：
T_r+1=C₅^rx^5-r•${（\frac{a}{x}）}^{r}$=a^rC₅^rx^5-2r，
令5-2r=3，解得r=1，
∴展開式中x³的系數(shù)是aC₅¹；
令5-2r=1，解得r=2，
∴展開式中x的系數(shù)是a²${C}_{5}^{2}$；
又5a=2×10a²，
解得a=$\frac{1}{4}$或a=0（不合題意，舍去）
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)定理的性質(zhì)和應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)靈活運(yùn)用通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)題目．