Question

15．定義$\overline{abc}$是一個三位數(shù)，其中各數(shù)位上的數(shù)字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，定義如下運算f：把$\overline{abc}$的三個數(shù)字a，b，c自左到右分別由大到小排列和由小到大排列（若非零數(shù)字不足三位則在前面補0），然后用“較大數(shù)”減去“較小數(shù)”，例如：f（100）=100-001-099，f（102）=210-0.12-198，如下定義一個三位數(shù)序列：第一次實施運算f的結(jié)果記為$\overline{{a}_{1}_{1}{c}_{1}}$，對于n＞1且n∈N，$\overline{{a}_{n}_{n}{c}_{n}}=f（\overline{{a}_{n-1}_{n-1}{c}_{n-1}}）$，將$\overline{{a}_{n}_{n}{c}_{n}}$的三個數(shù)字中的最大數(shù)字與最小數(shù)字的差記為d_n
（Ⅰ）當(dāng)$\overline{abc}$=636時，求$\overline{{a}_{1}_{1}{c}_{1}}$，$\overline{{a}_{2}_{2}{c}_{2}}$及d₂的值；
（Ⅱ）若d₁=6，求證：當(dāng)n＞1時，d_n=5；
（Ⅲ）求證：對任意三位數(shù)$\overline{abc}$，n≥6時，$\overline{{a}_{n}_{n}{c}_{n}}$=495．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用新定義之間通過$\overline{abc}$=636時，求解$\overline{{a}_{1}_{1}{c}_{1}}$，$\overline{{a}_{2}_{2}{c}_{2}}$及d₂的值；
（Ⅱ）不妨設(shè)，a_n≥b_n≥c_n，推出f（$\overline{{a}_{n}_{n}{c}_{n}}$）=d_n×99，若d₁=6，得到$\overline{{a}_{2}_{2}{c}_{2}}$=f（$\overline{{a}_{1}_{1}{c}_{1}}$）=6×99=495，可得d₂=5，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n＞1時，d_n=5；
（Ⅲ）數(shù)字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，三個數(shù)字中的最大數(shù)字與最小數(shù)字的差記為d，推出d₁=$\left\{\begin{array}{l}{10-d，d≤5}\\{d-1，d＞5}\end{array}\right.$，d_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{10-giisouc_{n}，o4oq0uy_{n}≤5}\\{gmmsc2q_{n}-1，q0iuumu_{n}＞5}\end{array}\right.$，d_n∈{5，6，7，8，9}，證明對任意三位數(shù)$\overline{abc}$，n≥6時，$\overline{{a}_{n}_{n}{c}_{n}}$=495．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)$\overline{abc}$=636時，$\overline{{a}_{1}_{1}{c}_{1}}$=663-366-297，
$\overline{{a}_{2}_{2}{c}_{2}}$=972-279-693
d₂=6；
（Ⅱ）不妨設(shè)，a_n≥b_n≥c_n，則f（$\overline{{a}_{n}_{n}{c}_{n}}$）=（a_n×100+b_n×10+c_n）-（c_n×100+b_n×10+a_n）=（a_n-c_n）×99=d_n×99，若d₁=6，則$\overline{{a}_{2}_{2}{c}_{2}}$=f（$\overline{{a}_{1}_{1}{c}_{1}}$）=6×99=495，可得d₂=9-4=5，
所以n=2時成立，假設(shè)n=k（k＞1）時成立，即d_k=5，
則$\overline{{a}_{k+1}_{k+1}{c}_{k+1}}$=f（$\overline{{a}_{n}_{n}{c}_{n}}$）=d_k×99=495，d_k+1=9-4=5．
綜上：當(dāng)n＞1時，d_n=5；
（Ⅲ）數(shù)字a，b，c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}且不全相同，三個數(shù)字中的最大數(shù)字與最小數(shù)字的差記為d，
則d∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，$\overline{{a}_{1}_{1}{c}_{1}}$=f（$\overline{abc}$）=$d×99=100d-d=\overline{d00}-\overline{00d}$，所以a₁=d-1，b₁=9，c₁=10-d，所以d₁=$\left\{\begin{array}{l}{10-d，d≤5}\\{d-1，d＞5}\end{array}\right.$，所以d₁∈{5，6，7，8，9}，
同理：$\overline{{a}_{n+1}_{n+1}{c}_{n+1}}$=f（$\overline{{a}_{n}_{n}{c}_{n}}$）=d_k×99=$\overline{yq4a6qi_{n}00}-\overline{00gkigqga_{n}}$，所以a_n+1=d_n-1，b_n+1=9，c_n+1=10-d_n，
所以d_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{10-0oc8a4k_{n}，smgku2u_{n}≤5}\\{gsksicw_{n}-1，ykagk0k_{n}＞5}\end{array}\right.$，dn∈{5，6，7，8，9}，
當(dāng)n≤5時，d_n=5，所以n≥6時，n≥6時，$\overline{{a}_{n}_{n}{c}_{n}}$=d_n+1×99=5×99=495．

點評 本題考查歸納推理，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，考查分析問題解決問題的能力．