Question

2．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為a，則異面直線BD與B₁C的距離為$\frac{\sqrt{3}a}{3}$．

Answer 1

分析 建立空間直角坐標(biāo)系，確定要用到的幾點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)MN是異面直線BD，B₁C的公垂線段，設(shè)出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{{B}_{1}C}=0}\end{array}\right.$求出M，N點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)空間兩點(diǎn)的距離公式求出|MN|即可．

解答 解：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則：B（a，a，a），D（0，0，a），B₁（a，a，0），C（0，a，a）；
設(shè)MN是異面直線BD，B₁C的公垂線段；
設(shè)M（m，m，a），N（n，a，a-n），則MN⊥BD，MN⊥B₁C；
$\overrightarrow{BD}=（-a，-a，0）$，$\overrightarrow{{B}_{1}C}=（-a，0，a）$，$\overrightarrow{MN}=（n-m，a-m，-n）$；
∴$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{BD}=0，\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{{B}_{1}C}=0$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{（n-m）•（-a）+（a-m）•（-a）=0}\\{（n-m）•（-a）+（-n）•a=0}\end{array}\right.$；
解得m=$\frac{2a}{3}，n=\frac{a}{3}$；
∴M（$\frac{2a}{3}，\frac{2a}{3}，a$），N（$\frac{a}{3}，a，\frac{2a}{3}$）；
∴$|MN|=\frac{\sqrt{3}a}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}a}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量解決立體幾何問題的方法，會(huì)根據(jù)空間直角坐標(biāo)系確定已知的點(diǎn)的坐標(biāo)，異面直線距離、公垂線段的概念，以及兩非零向量垂直的充要條件，空間兩點(diǎn)間距離公式．