Question

方程7x²-（k+3）x+k²-k-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂＜2，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A、（-2，-1）
• B、（3，4）
• C、（-2，4）
• D、（-2，-1）∪（3，4）

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系

專題：計(jì)算題,綜合題,轉(zhuǎn)化思想

分析：構(gòu)造輔助函數(shù)f（x）=7x²-（k+3）x+k²-k-2，由0＜x₁＜1＜x₂＜2得到關(guān)于k的不等式組，求解不等式組得答案．

解答： 解：∵方程7x²-（k+3）x+k²-k-2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂＜2，
令f（x）=7x²-（k+3）x+k²-k-2，
則

f(0)=k2-k-2＞0 f(1)=7-(k+3)+k2-k-2＜0 f(2)=7×4-2(k+3)+k2-k-2＞0

，解得：-2＜k＜-1或3＜k＜4．
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是（-2，-1）∪（3，4）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，考查了不等式組的解法，訓(xùn)練了運(yùn)用“三個(gè)二次”的結(jié)合求解問(wèn)題的方法，是中檔題．