Question

方程7x²-（k+3）x+k²-k-2=0有兩個實數根x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂＜2，則實數k的取值范圍是（　�。�

• A、（-2，-1）
• B、（3，4）
• C、（-2，4）
• D、（-2，-1）∪（3，4）

Answer 1

考點：一元二次方程的根的分布與系數的關系

專題：計算題,綜合題,轉化思想

分析：構造輔助函數f（x）=7x²-（k+3）x+k²-k-2，由0＜x₁＜1＜x₂＜2得到關于k的不等式組，求解不等式組得答案．

解答： 解：∵方程7x²-（k+3）x+k²-k-2=0有兩個實數根x₁，x₂，且0＜x₁＜1＜x₂＜2，
令f（x）=7x²-（k+3）x+k²-k-2，
則

f(0)=k2-k-2＞0 f(1)=7-(k+3)+k2-k-2＜0 f(2)=7×4-2(k+3)+k2-k-2＞0

，解得：-2＜k＜-1或3＜k＜4．
∴實數k的取值范圍是（-2，-1）∪（3，4）．
故選：D．

點評：本題考查了一元二次方程根與系數的關系，考查了不等式組的解法，訓練了運用“三個二次”的結合求解問題的方法，是中檔題．