Question

8．平面內(nèi)四點(diǎn)A，B，C，P滿足|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{BC}$|，AB=8，$\overrightarrow{CP}$=λ（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$），其中0≤λ≤$\frac{1}{2}$，則△ABC是直角三角形，$\overrightarrow{PC}$•（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）的取值范圍是[-32，0]．

Answer 1

分析 |$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{BC}$|，可得$|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|$=$|\overrightarrow{AB}|$，即可判斷出△ABC的形狀．如圖所示，矩形ACBD，對(duì)角線相交于點(diǎn)E，以PA，PB為鄰邊作平行四邊形PAQB．$\overrightarrow{CP}$=λ（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$），其中0≤λ≤$\frac{1}{2}$，可得$\overrightarrow{PC}$•（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）=-λ$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{PQ}$，即可得出．

解答 解：∵|$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{BC}$|，
∴$|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}|$=$|\overrightarrow{AB}|$，
∴△ABC是直角三角形，且$C=\frac{π}{2}$．
如圖所示，矩形ACBD，對(duì)角線相交于點(diǎn)E，以PA，PB為鄰邊作平行四邊形PAQB．
∵$\overrightarrow{CP}$=λ（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$），其中0≤λ≤$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{PC}$•（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$）=-λ$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{PQ}$∈[-32，0]．
故答案分別為：直角；[-32，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的平行四邊形法則、向量共線定理、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．