Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+1是定義在R上的偶函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性，并用定義證明．

Answer 1

分析 （1）由f（x）是偶函數(shù)，即f（-x）=f（x），求得a的值；
（2）用定義證明f（x）的單調(diào)性，基本步驟是：取值，作差，判正負(fù)，下結(jié)論．

解答 解：（1）對(duì)任意的x∈R，-x∈R，
∴f（-x）=（-x）²+a（-x）+1，
即f（-x）=x²-ax+1，
又f（x）是偶函數(shù)，∴f（-x）=f（x），
即x²-ax+1=x²+ax+1，
∴-a=a，即a=0；
（2）由（1）知f（x）=x²+1，任取x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁²-x₂²=（x₁+x₂）（x₁-x₂），
∵x₁，x₂∈（-∞，0），x₁＜x₂，
∴x₂+x₁＜0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用與單調(diào)性的判定問題，是中檔題．