Question

7．設(shè)數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a₁=2，且a₂，a₃，a₄+1成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：S_n$＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 （1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₁=2，且a₂，a₃，a₄+1成等比數(shù)列．
∴${a}_{3}^{2}$=a₂•（a₄+1），
∴（2+2d）²=（2+d）（2+3d+1），
化為d²-d-2=0，
解得d=2或-1．
當(dāng)d=-1時(shí)，a₃=0舍去．
∴d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）證明：b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$$＜\frac{1}{2}$，
∴S_n$＜\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．