Question

15．平面內(nèi)有向量$\overrightarrow{OA}$=（1，7），$\overrightarrow{OB}$=（5，1），$\overrightarrow{OP}$=（2，1），點(diǎn)M為直線OP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$取得最小值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）在點(diǎn)M滿足（1）的條件下，求∠AMB的余弦值．

Answer 1

分析 （1）直線OP的方程為：y=$\frac{1}{2}$x，設(shè)M（2m，m），利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量夾角公式即可得出．

解答 解：（1）直線OP的方程為：y=$\frac{1}{2}$x，設(shè)M（2m，m），
$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=（1-2m，7-m）•（5-2m，1-m）=（1-2m）•（5-2m）+（7-m）•（1-m）=5m²-20m+12=5（m-2）²-8，
當(dāng)m=2時(shí)，$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$取得最小值-8，此時(shí)M（4，2）．
（2）在點(diǎn)M滿足（1）的條件下，M（4，2）．
$\overrightarrow{MA}$=（-3，5），$\overrightarrow{MB}$=（1，-1），$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=-8，|$\overrightarrow{MA}$|=$\sqrt{34}$，|$\overrightarrow{MB}$|=$\sqrt{2}$，
∴cos∠AMB=$\frac{\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}}{|\overrightarrow{MA}||\overrightarrow{MB}|}$=$\frac{-8}{\sqrt{34}×\sqrt{2}}$=-$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性、向量夾角公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．