Question

12．已知函數f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+（1-a）x+1．
（1）當a=1時，求函數f（x）在x=2處的切線方程；
（2）求函數f（x）在x∈[1，2]時的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f（2），f′（2）的值，求出切線方程即可；
（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區(qū)間，從而求出函數的最大值即可．

解答 解：（1）a=1時，f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+1，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-x，f（2）=ln2-1，
∴f′（2）=-$\frac{3}{2}$，即切線斜率k=-$\frac{3}{2}$，
故切線方程是：y=-$\frac{3}{2}$x+2+ln2；
（2）f′（x）=$\frac{-{ax}^{2}+（1-a）x+1}{x}$，（1≤x≤2），
a≤0時，f′（x）＞0在x∈[1，2]恒成立，
∴f（x）_max=f（2）=-4a+3+ln2，
0＜a≤$\frac{1}{2}$時，f（x）在x∈[1，2]遞增，
∴f（x）_max=f（2）=-4a+3+ln2，
$\frac{1}{2}$＜a＜1時，f（x）在[1，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，2）遞減，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{a}$）=-lna+$\frac{1}{2a}$，
a≥1時，f（x）在x∈[1，2]遞減，
∴f（x）_max=f（1）=-$\frac{3}{2}$a+2，
綜上，f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{-4a+3+ln2，a≤\frac{1}{2}}\\{-lna+\frac{1}{2a}，\frac{1}{2}＜a＜1}\\{-\frac{3}{2}a+2，a≥1}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．