Question

6．已知過點A（0，1）且斜率為k的直線l與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M、N兩點
（1）求實數(shù)k的取值范圍；
（2）求證：$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$為定值；
（3）若O為坐標原點，且$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=12$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得，直線l的斜率存在，用點斜式求得直線l的方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得k的值，可得滿足條件的k的范圍．
（2）由題意可得，經(jīng)過點M、N、A的直線方程為y=kx+1，代入圓C的方程化簡，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得x₁+x₂ 和x₁•x₂ 的值，可得y₁•y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）的值，利用$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）=x₁•x₂+y₁•y₂-（y₁+y₂）+1，即可得出結(jié)論；
（3）由x₁•x₂+y₁•y₂=12，解得k的值，從而求得直線l的方程．

解答 （1）解：由題意可得，直線l的斜率存在，
設(shè)過點A（0，1）的直線方程：y=kx+1，即：kx-y+1=0．…（2分）
由已知可得圓C的圓心C的坐標（2，3），半徑R=1．
故由$\frac{|2k-3+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜1，解得：$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$＜k＜$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$．
故當(dāng)$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$＜k＜$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$時，過點A（0，1）的直線與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M，N兩點．
（2）證明：由題意可得，經(jīng)過點M、N、A的直線方程為y=kx+1，代入圓C的方程（x-2）²+（y-3）²=1，
可得 （1+k²）x²-4（k+1）x+7=0，
設(shè)M（x₁，y₁）；N（x₂，y₂），則
x₁+x₂=$\frac{4（k+1）}{{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{7}{{k}^{2}+1}$，
∴y₁•y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=$\frac{12{k}^{2}+4k+1}{{k}^{2}+1}$，
$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）=x₁•x₂+y₁•y₂-（y₁+y₂）+1=$\frac{7}{{k}^{2}+1}$+$\frac{12{k}^{2}+4k+1}{{k}^{2}+1}$-k×$\frac{4（k+1）}{{k}^{2}+1}$-2+1=7為定值；
（3）解：由x₁•x₂+y₁•y₂=$\frac{12{k}^{2}+4k+8}{{k}^{2}+1}$=12，解得 k=1，
故直線l的方程為 y=x+1，即 x-y+1=0．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．