Question

14．已知雙曲線T：$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，過點(diǎn)B（-2，0）的直線交雙曲線T于點(diǎn)A（點(diǎn)A不為雙曲線頂點(diǎn)），若AB中點(diǎn)Q在直線y=x上，點(diǎn)P為雙曲線T上異于A，B的任意一點(diǎn)且不為雙曲線的頂點(diǎn)，直線AP，BP分別交直線y=x于M，N兩點(diǎn)，則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的值為-$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 求出A的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）為曲線上任一點(diǎn)，得到直線AP的方程，直線BP的方程，可得M，N的坐標(biāo)，由此即可得出結(jié)論．

解答 解：∵AB中點(diǎn)Q在直線y=x上，B（-2，0），
∴A（$\frac{10}{3}$，$\frac{4}{3}$）
設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀）為曲線上任一點(diǎn)，
則直線AP的方程是y-$\frac{4}{3}$=$\frac{{y}_{0}-\frac{4}{3}}{{x}_{0}-\frac{10}{3}}$（x-$\frac{10}{3}$），
與直線y=x聯(lián)立得x_M=y_M=$\frac{10{y}_{0}-4{x}_{0}}{3{y}_{0}-3{x}_{0}+6}$，
同理得：直線BP的方程是y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$（x+2），
與直線y=x聯(lián)立得x_N=y_N=$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-{y}_{0}+2}$，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x_Mx_N+y_My_N=2×$\frac{10{y}_{0}-4{x}_{0}}{3{y}_{0}-3{x}_{0}+6}$×$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}-{y}_{0}+2}$=-$\frac{8}{3}$．
故答案為：-$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，考查向量的數(shù)量積，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意中點(diǎn)坐標(biāo)公式的合理運(yùn)用．