Question

4．柯西不等式是由數(shù)學(xué)家柯西在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時得到的．具體表述如下：對任意實數(shù)a₁，a₂，…，a_n和b₁，b₂，…b_n（n∈N⁺，n≥2），都有（a₁²+a₂²+…+a_n²）（b₁²+b₂²+…b_n²）≥（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²．
（1）證明n=2時柯西不等式成立，并指出等號成立的條件；
（2）若對任意x∈[2，6]，不等式3$\sqrt{x-2}$+2$\sqrt{6-x}$≤m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍（4分）

Answer 1

分析 （1）構(gòu)造函數(shù)，利用判別式證明即可；
（2）利用柯西不等式求出（3$\sqrt{x-2}$+2$\sqrt{6-x}$）_max，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答 （1）證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（a₁x+b₁）²+（a₂x+b₂）²=（a₁²+a₂²）x²+2（a₁b₁+a₂b₂）x+（b₁²+b₂²）．
注意到f（x）≥0，所以△=[2（a₁b₁+a₂b₂）]²-4（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）≤0，
即（a₁b₁+a₂b₂）²≤（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）．
（其中等號成立當(dāng)且僅當(dāng)a₁x+b₁=a₂x+b₂=0，即a₁b₂=a₂b₁．）
（2）解：由（1）可得（3$\sqrt{x-2}$+2$\sqrt{6-x}$）²≤（3²+2²）[（$\sqrt{x-2}$）²+（$\sqrt{6-x}$）²]=52，
∴（3$\sqrt{x-2}$+2$\sqrt{6-x}$）_max=2$\sqrt{13}$，
∵對任意x∈[2，6]，不等式3$\sqrt{x-2}$+2$\sqrt{6-x}$≤m恒成立，
∴m≥$2\sqrt{13}$．

點評 本題是中檔題，考查不等式的證明與應(yīng)用，不等式求函數(shù)的最值，考查知識的應(yīng)用能力，邏輯推理能力．