Question

2．已知函數(shù)f（x）=x²-1，函數(shù)g（x）=2tlnx，其中t≤1．
（Ⅰ）如果函數(shù)f（x）與g（x）在x=1處的切線均為l，求切線l的方程及t的值；
（Ⅱ）如果曲線y=f（x）與y=g（x）有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別求得f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，解方程可得t=1，即可得到切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，可得切線的方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），“曲線y=f（x）與y=g（x）有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”等價(jià)于“函數(shù)y=h（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)”．對(duì)h（x）求導(dǎo)，討論①當(dāng)t≤0時(shí)，②當(dāng)t=1時(shí)，③當(dāng)0＜t＜1時(shí)，求出單調(diào)區(qū)間，即可得到零點(diǎn)和所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）求導(dǎo)，得f′（x）=2x，$g'（x）=\frac{2t}{x}$，（x＞0）．                  
由題意，得切線l的斜率k=f′（1）=g′（1），
即k=2t=2，解得t=1．
又切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
所以切線l的方程為2x-y-2=0；         
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=x²-1-2tlnx，x∈（0，+∞）．      
“曲線y=f（x）與y=g（x）有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”等價(jià)于
“函數(shù)y=h（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)”．
求導(dǎo)，得$h'（x）=2x-\frac{2t}{x}=\frac{{2{x^2}-2t}}{x}$．
①當(dāng)t≤0時(shí)，由x∈（0，+∞），得h'（x）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增．
又因?yàn)閔（1）=0，所以y=h（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)1，符合題意．   
②當(dāng)t=1時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，h'（x）與h（x）的變化情況如下表所示：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	↘		↗

所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x=1時(shí)，h（x）_min=h（1）=0，
故y=h（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)1，符合題意．                  
③當(dāng)0＜t＜1時(shí)，令h'（x）=0，解得$x=\sqrt{t}$．
當(dāng)x變化時(shí)，h'（x）與h（x）的變化情況如下表所示：

x	$（0，\sqrt{t}）$	$\sqrt{t}$	$（\sqrt{t}，+∞）$
h'（x）	-	0	+
h（x）	↘		↗

所以h（x）在$（0，\sqrt{t}）$上單調(diào)遞減，在$（\sqrt{t}，+∞）$上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)$x=\sqrt{t}$時(shí)，$h（x）{\;_{min}}=h（\sqrt{t}）$．                          
因?yàn)閔（1）=0，$\sqrt{t}＜1$，且h（x）在$（\sqrt{t}，+∞）$上單調(diào)遞增，
所以$h（\sqrt{t}）＜h（1）\;=0$．
又因?yàn)榇嬖?{e^{-\frac{1}{2t}}}∈（0，1）$，$h（{e^{-\frac{1}{2t}}}）\;={e^{-\frac{1}{t}}}-1-2tln{e^{-\frac{1}{2t}}}={e^{-\frac{1}{t}}}＞0$，
所以存在x₀∈（0，1）使得h（x₀）=0，
所以函數(shù)y=h（x）存在兩個(gè)零點(diǎn)x₀，1，與題意不符．
綜上，曲線y=f（x）與y=g（x）有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，t的范圍是{t|t≤0，或t=1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用構(gòu)造法，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性，同時(shí)考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．