分析 (1)若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),則f(x)=f(-x)恒成立,運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),化簡進(jìn)而可得a值;
(2)若不等式f(x)+f(-x)≤2log4m對任意x∈[0,2]恒成立,化簡即有4x+1≤m2x對任意的x∈[0,2]恒成立,令$t={2^{^x}}$,則t∈[1,4],可得t2-mt+1≤0在[1,4]恒成立,由二次函數(shù)的性質(zhì),進(jìn)而可得實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解答 解:(1)∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù),
∴f(x)=f(-x)對任意x∈R恒成立,
∴${log_4}({4^x}+1)+ax={log_4}({4^{-x}}+1)-ax$,
∴$2ax={log_4}\frac{{{4^x}+1}}{4^x}-{log_4}({4^x}+1)=x$,
∴$a=-\frac{1}{2}$;
(2)∵f(x)+f(-x)≤2log4m,
∴$2{log_4}({4^x}+1)≤x+2{log_4}m$,
∴${log_2}({4^x}+1)≤{log_2}m•{2^x}$對任意的x∈[0,2]恒成立,
即4x+1≤m2x對任意的x∈[0,2]恒成立,
令$t={2^{^x}}$,則t∈[1,4],
∴t2-mt+1≤0在[1,4]恒成立,
∴$\left\{\begin{array}{l}2-m≤0\\ 17-4m≤0\end{array}\right.$,∴$m≥\frac{17}{4}$.
點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性,恒成立問題,注意運(yùn)用定義法和換元法,同時(shí)考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)用,難度中檔.
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