Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+ax（a∈R）．
（1）若f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，求a的值；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）+f（-x）≤2log₄m對任意的x∈[0，2]恒成立，求正實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，則f（x）=f（-x）恒成立，運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，化簡進(jìn)而可得a值；
（2）若不等式f（x）+f（-x）≤2log₄m對任意x∈[0，2]恒成立，化簡即有4^x+1≤m2^x對任意的x∈[0，2]恒成立，令$t={2^{^x}}$，則t∈[1，4]，可得t²-mt+1≤0在[1，4]恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x）對任意x∈R恒成立，
∴${log_4}（{4^x}+1）+ax={log_4}（{4^{-x}}+1）-ax$，
∴$2ax={log_4}\frac{{{4^x}+1}}{4^x}-{log_4}（{4^x}+1）=x$，
∴$a=-\frac{1}{2}$；
（2）∵f（x）+f（-x）≤2log₄m，
∴$2{log_4}（{4^x}+1）≤x+2{log_4}m$，
∴${log_2}（{4^x}+1）≤{log_2}m•{2^x}$對任意的x∈[0，2]恒成立，
即4^x+1≤m2^x對任意的x∈[0，2]恒成立，
令$t={2^{^x}}$，則t∈[1，4]，
∴t²-mt+1≤0在[1，4]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}2-m≤0\\ 17-4m≤0\end{array}\right.$，∴$m≥\frac{17}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的奇偶性，恒成立問題，注意運(yùn)用定義法和換元法，同時(shí)考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)用，難度中檔．