Question

15．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知S_n+a_n=-$\frac{1}{2}{n^2}-\frac{3}{2}$n+1（n∈N^*）
（1）設(shè)b_n=a_n+n，證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）通過S_n+a_n=-$\frac{1}{2}{n^2}-\frac{3}{2}$n+1與S_n-1+a_n-1=-$\frac{1}{2}$（n-1）²-$\frac{3}{2}$（n-1）+1作差可知2a_n-a_n-1=-n-1，進(jìn)而變形得2（a_n+n）=a_n-1+（n-1），從而可知數(shù)列{b_n}是公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列；
（2）通過（1）可知b₁=$\frac{1}{2}$，進(jìn)而可知a_n=-n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用分組求和法計算即得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵S_n+a_n=-$\frac{1}{2}{n^2}-\frac{3}{2}$n+1，
∴當(dāng)n≥2時，S_n-1+a_n-1=-$\frac{1}{2}$（n-1）²-$\frac{3}{2}$（n-1）+1，
兩式相減得：2a_n-a_n-1=-n-1，
變形得：2（a_n+n）=a_n-1+（n-1），
又∵b_n=a_n+n，
∴數(shù)列{b_n}是公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可知S₁+a₁=-$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{2}$+1=-1，即a₁=-$\frac{1}{2}$，
又∵b₁=a₁+1=-$\frac{1}{2}$+1=$\frac{1}{2}$，
∴b_n=a_n+n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，a_n=-n+$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴S_n=-（1+2+…+n）+（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=-$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查分組求和法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．