Question

7．已知公差大于零的等差數(shù)列{a_n}滿足：a₃a₄=48，a₃+a₄=14．
（Ⅰ） 求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式；
（Ⅱ） 記${b_n}={（\sqrt{2}）^{a_n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過聯(lián)立（a₁+2d）（a₁+3d）=48、a₁+2d+a₁+3d=14，計(jì)算可知d=a₁=2，進(jìn)而利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（Ⅰ）b_n=2ⁿ，進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由公差d＞0及（a₁+2d）（a₁+3d）=48、a₁+2d+a₁+3d=14，
解得：d=2或d=-2（舍），a₁=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）有${b_n}={（\sqrt{2}）^{a_n}}$=$（\sqrt{2}）^{2n}$=2ⁿ，
所以數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)b₁=q=2，
于是T_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ⁺¹-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．