Question

9．長方體ABCD-A′B′C′D′的頂點均在球面上，且AB=1，AC=2，AA′=3，則該球的表面積為（　　）

• A． 7π
• B． 14π
• C． $\frac{7π}{2}$
• D． $\frac{7\sqrt{14}π}{3}$

Answer 1

分析 由長方體的對角線公式，算出長方體對角線AC′=$\sqrt{14}$，從而得到長方體外接球的直徑等于$\sqrt{14}$，可得半徑R=$\frac{\sqrt{14}}{2}$，結(jié)合球的表面積公式即可得到該球的表面積．

解答 解：∵長方體ABCD-A′B′C′D′中，AB=1，AC=2，AA′=3，
∴長方體的對角線AC′=$\sqrt{1+4+9}$=$\sqrt{14}$，
∵長方體ABCD-A′B′C′D′的頂點都在同一球面上，
∴球的一條直徑為AC′=$\sqrt{14}$，可得半徑R=$\frac{\sqrt{14}}{2}$
因此，該球的表面積為S=4πR²=4π×（$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²=14π
故選：B．

點評 本題給出長方體的長、寬、高，求長方體外接球的表面積，著重考查了長方體的對角線公式、長方體的外接球和球的表面積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．