Question

11．已知f（x）是偶函數(shù)，且f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
（2）如果f（ax+1）≤f（x-2）在x∈[$\frac{1}{2}$，1]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系結(jié)合單調(diào)性的定義進行證明即可．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式f（ax+1）≤f（x-2）在[$\frac{1}{2}$，1]上恒成立，轉(zhuǎn)化為有關(guān) x的不等式在[$\frac{1}{2}$，1]上恒成立的問題，利用此時分離法進行求最值即可．

解答 解：（1）函數(shù)函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)遞減：
證明：設(shè)x₁＜x₂＜0，
則-x₁＞-x₂＞0，
∵f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（-x₁）＞f（-x₂），
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），即f（x₁）＞f（x₂），
則函數(shù)函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)遞減．
（2）∵f（ax+1）≤f（x-2）在x∈[$\frac{1}{2}$，1]上恒成立，
∴不等式等價為f（|ax+1|）≤f（|x-2|）在x∈[$\frac{1}{2}$，1]上恒成立，
即|ax+1|≤|x-2|=2-x在x∈[$\frac{1}{2}$，1]上恒成立，
得x-2≤ax+1≤2-x在x∈[$\frac{1}{2}$，1]上恒成立，
從而$a≥\frac{x-3}{x}$且$a≤\frac{1-x}{x}$對$x∈[\frac{1}{2}，1]$恒成立，
∵y=$\frac{x-3}{x}$=1-$\frac{3}{x}$在[$\frac{1}{2}$，1]上為增函數(shù)，
則此時函數(shù)的最大值為y=-2，
y=$\frac{1-x}{x}$=$\frac{1}{x}$-1在[$\frac{1}{2}$，1]上為減函數(shù)，
則此時函數(shù)的最小值為y=0，
則a≥-2且a≤0，
即a∈[-2，0]．

點評 本題考查的是不等式、函數(shù)性質(zhì)以及恒成立有關(guān)的綜合類問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)的性質(zhì)、恒成立的思想以及問題轉(zhuǎn)化的能力．綜合性較強，有一定的難度．