Question

14．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{（{x+1}）^2}，x≤0\\ \left|{{{log}_2}x}\right|，x＞0\end{array}\right.$，若方程f（x）=a有四個不同的解x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，則${x_3}（{{x_1}+{x_2}}）+\frac{1}{{x_3^2{x_4}}}$的取值范圍為（　�。�

• A． （-1，+∞）
• B． （-1，1]
• C． （-∞，1）
• D． [-1，1）

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x），得到x₁，x₂關于x=-1對稱，x₃x₄=1；化簡條件，利用數(shù)形結合進行求解即可．

解答 解：作函數(shù)f（x）的圖象如右，
∵方程f（x）=a有四個不同的解x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
∴x₁，x₂關于x=-1對稱，即x₁+x₂=-2，
0＜x₃＜1＜x₄，
則|log₂x₃|=|log₂x₄|，
即-log₂x₃=log₂x₄，
則log₂x₃+log₂x₄=0
即log₂x₃x₄=0
則x₃x₄=1；
當|log₂x|=1得x=2或$\frac{1}{2}$，
則1＜x₄≤2；$\frac{1}{2}$≤x₃＜1；
故${x_3}（{{x_1}+{x_2}}）+\frac{1}{{x_3^2{x_4}}}$=-2x₃+$\frac{1}{{x}_{3}}$，$\frac{1}{2}$≤x₃＜1；
則函數(shù)y=-2x₃+$\frac{1}{{x}_{3}}$，在$\frac{1}{2}$≤x₃＜1上為減函數(shù)，
則故x₃=$\frac{1}{2}$取得最大值，為y=1，
當x₃=1時，函數(shù)值為-1．
即函數(shù)取值范圍是（-1，1]．
故選：B

點評 本題考查分段函數(shù)的運用，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，運用數(shù)形結合的思想方法是解題的關鍵．